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电力系统概率潮流算法的分析与对比
2017-11-24 15:07:38  作者:申丹枫  来源:  
  •   概率潮流计算是电力系统不确定性量化和分析的一个基础问题。本文根据概率潮流模型的不同对各种概率潮流算法进行了分类分析和对比,具体包括一次二阶矩法、半不变量法、蒙特卡罗类算法,点估计法以及广义多项式混沌法,并着重介绍了广义多项式混沌法这种求解概率潮流的新型方法,指出它相对于其他传统概率潮流计算方法具有巨大优势。本文同时还介绍了随机变量相关性的两种处理方法:Rosenblatt变换和Nataf变换,分析了其准确性和适用场合。最后,本文集中总结了各类概率潮流算法的适用场合和优缺点,并预测广义多项式混沌法是解决概率潮流计算等电力系统随机问题的热点和趋势。

  同济大学电子与信息工程学院 申丹枫

  1 引言

  电力系统的传统不确定性因素主要包括负荷波动、线路故障等。随着风电、光伏等具有强波动性的分布式新能源的大规模接入,电力系统的不确定性大大增加,其运行和控制受到严重挑战。为了分析这些不确定性因素对电力系统运行和控制的影响,以及更全面地揭示电力系统的运行特性,研究高效的概率潮流计算方法变得日益重要。

  概率潮流最早由Borkowska于20世纪70年代提出[1],其实质是求解以不确定性负荷、风电以及光伏发电节点注入功率等为输入随机变量,以电力系统各种状态量(一般为节点电压幅值和相角)和伴随变量(支路潮流、PV节点无功出力等)为输出随机变量的潮流方程,从而得到电力系统状态量和伴随变量的期望、方差以及概率密度函数。

  当前概率潮流模型主要有四种,即直流模型、线性化交流模型、分段线性化交流模型以及保留非线性的交流模型。基于这四种模型,发展出了大量概率潮流算法。基于直流模型的概率潮流算法由Borkowaka在引入概率潮流这一研究课题时提出[1],它通过将非线性的有功潮流方程化简为线性的直流潮流方程而快速求出电压相角和支路潮流的概率分布,但其由于采用直流模型而具有较大的误差,现已被其他算法所代替。基于线性化交流模型或分段线性化交流模型的概率潮流算法主要有一次二阶矩法[2]和半不变量法[3]等。由于保留了交流潮流模型,所以这两种潮流算法的计算精度相比于直流模型而有了一定的提高。基于保留非线性的交流模型的概率潮流算法主要有蒙特卡罗法类方法[4]、点估计法[5]以及广义多项式混沌法[6]。由于完全保留了原始潮流模型的非线性,所以这几种算法能达到的计算精度一般要高于基于其他模型的算法,但同时计算量也有所增加。

  大部分概率潮流算法都假设各个输入随机变量相互独立,即不考虑随机变量间的相关性。然而,在概率潮流问题中,输入随机变量间(尤其是同一地区的风力发电节点的风电功率间)具有一定的相关性。因此在使用这些算法进行概率潮流计算之前,需要增加额外的步骤来处理随机变量间的相关性,将相关的随机变量向量变换成独立的随机变量向量。常见的相关性变换方法有Rosenblatt变换[7]、Nataf变换[5]和三阶多项式正态变换[8]等,其中Rosenblatt变换的精度最高,但由于在实际工程中难以得到输入随机变量间的联合分布函数而较难应用,Nataf变换和三阶多项式正态变换的精度相对于Rosenblatt变换较低,但由于只需要用到随机向量间的线性相关系数而具有较高的实用价值。

  本文主要综述基于线性化(包括分段线性化)交流模型、保留非线性的交流潮流模型的各种概率潮流算法以及Rosenblatt变换、Nataf变换和三阶多项式正态变换这些相关性变换方法的基本原理和步骤,分析其优缺点。由于广义多项式混沌法最近才引入电力系统不确定性计算中,鲜有文献对其全面介绍,所以本文着重叙述广义多项式混沌法概率潮流计算,指出它具有其他传统方法所不能比拟的优良性能。

  2 基于(分段)线性化交流潮流模型的概率潮流算法

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  半不变量法的优势在于计算简单,且能得到输出变量的各阶矩,而不是像一次二阶矩法那样只能得到前二阶矩。半不变量法的固有缺陷依然是线性化潮流模型所带来的计算误差,对此文献[3]提出了基于多点线性化潮流模型的半不变量法,以减少误差。

  3 基于保留非线性的交流潮流模型的概率潮流算法

  3.1 蒙特卡罗类算法

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  根据抽样方式不同,蒙特卡罗类方法可分为蒙特卡罗法(Monte Carlo method,MCM)[9]、重要度抽样法[10]、拉丁超立方法[11]以及拟蒙特卡罗法[12]等。

  MCM按照输入随机变量的概率分布随机生成大量独立的样本,其数学支撑为大数定律和中心极限定理。由大数定理可知当样本数无穷多时,输出变量的样本均值与其期望相等,所以MCM的准确性能够保证。但根据中心极限定理,MCM的误差与抽样数的平方根成反比,因而当计算精度要求很高时所需的抽样次数很大、计算时间很长。

  重要度抽样法的基本思路是在保持输出随机变量期望值不变时,通过改变输出随机变量的概率分布来减小其方差,从而加快MCM对输出随机变量期望的速度。由于改变了方差,所以重要度抽样法只适用于只需要求随机变量期望、而不需要求方差以及高阶矩的场合。

  拉丁超立方法通过用分层抽样代替MCM的整体抽样,实现样本点对输入随机向量定义空间更充分的覆盖,从而提高算法的收敛速度。它先将各个输入随机变量的定义域按概率等分成几个区间(即分层),在每个区间分别进行随机抽样(或者直接取区间的概率中点),然后对每个输入随机变量的样本进行排序以降低各输入随机变量的样本间的相关性,得到输入随机变量向量的样本。

  拟蒙特卡罗法也是MCM的一种的改进方法。它用确定性的低差异序列(又称伪随机数列)生成样本,以代替MCM的随机抽样,从而避免了抽样点在局部空间内的聚集,实现抽样点在整个定义空间内的有效覆盖,提高了收敛速度。常用的低差异序列有VanderCorput序列、Halton序列、Faure序列、Sobol序列等,但它们大多只适用于输入变量维数较小的情况,使得拟蒙特卡罗法难以应用于大规模问题。

  3.2 点估计法

  点估计法根据各输入随机变量的概率分布来生成确定性的样本点及其权重,从而求出输出随机变量的各阶矩。根据样本点个数的不同,点估计法分为两点估计法和三点估计法,以三点估计法为例,点估计的过程如下。

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  4 相关性的处理方法

  在上述所有概率潮流计算方法中,除了计算精度很差的一次二阶矩法,其他方法都要求各个输入随机变量间是相互独立的。但是由于风电在地理空间上存在相关性,所以在概率潮流中各个输入随机变量间存在一定的相关性。因此,必须先进行相关性的处理,然后才能使用上述方法进行概率潮流计算。由于相关性处理方法的本质都是将相关的随机向量变换成独立的随机向量,所以相关性处理方法对于任意类型的概率潮流计算方法都是适用的。

  按照相关性模型的不同可将相关性的处理方法分为基于联合概率分布的相关性处理方法[19]以及基于线性相关系数的相关性处理方法[5,8]。联合概率分布对相关性的描述非常精确的,但实际上获得随机变量间的联合分布函数比较困难,因此前一种方法的虽然精确,但较为复杂、实用性较差。线性相关系数只能部分反映相关性,准确性较低,通常需要进行一些假设,但由于获取各变量间的相关系数较为容易,所以后一种方法较为简单且工程实用性较强。

  4.1 基于联合概率分布的相关性处理方法

  基于联合概率分布的相关性处理方法需要先对输入随机变量间的联合概率分布函数进行拟合,然后再将相关的输入随机向量变换成独立的新输入随机向量。其过程如下:

  (1)拟合输入随机向量的联合概率分布函数:假定联合概率分布函数为参数未知的某种Copula函数[20],根据输入随机向量的大量历史数据样本对该Copula函数进行拟合,得出其参数值和相应的联合分布函数。常用的Copula函数有Normal Copula,Clayton Copula,Frank Copula,Gumbel Copula等,若要得到更精确和更灵活的Copula函数,可使用Vine Copula对上述Copula函数进行复杂的组合。

  (2)进行相关性变换:得到输入随机向量的联合分布函数后,根据Rosenblatt变换[7]将输入随机向量变换成独立的新输入随机向量。

  4.2 基于线性相关系数的相关性处理方法

  处理线性相关性的最常用、最精确的方法是Nataf变换。其过程如下:

  (1)用边缘变换技术将各个输入随机变量分别变换成相关的标准正态分布随机变量,并根据原输入随机向量的线性相关性矩阵计算变换后的线性相关性矩阵。

  (2)假设各个相关的标准正态分布随机变量服从多元正态分布,于是它们的相关性就可以完全用线性相关系数矩阵来表征。

  (3)使用正交变换将相关的多元正态分布随机向量变换成独立的标准正态分布随机向量。

  Nataf变换假设标准正态分布随机向量服从多元正态分布,其实质就是假设随机向量的分布函数为Normal Copula函数,因此Nataf变换在处理正态相关性时具有与Rosenblatt变换相同的准确性。但当随机变量服从其他相关性时,Nataf变换可能有较大的误差。此外,三阶多项式正态变换也是一种处理线性相关性的方法,其假设条件与Nataf变换相同,但除了假设误差外还存在其他计算误差,因此精度小于Nataf变换,故在此对其不进行额外叙述。

  5 结论

  本文介绍了5类概率潮流计算方法和2类相关性处理方法的思想、步骤以及优缺点。其中一次二阶矩法基本上可以被半不变量法等其他方法替代;半不变量法只适用于输入随机变量波动范围较小、潮流方程近似为线性的场合。蒙特卡罗法因为收敛速度与随机变量数无关而适用于输入随机变量数非常大的场合,而在其他情况下可用拉丁超立方法或拟蒙特卡罗法代替蒙特卡罗法。点估计法缺乏灵活性、对高阶矩计算的准确性性缺乏保证,因而只适用于对高阶矩计算精度要求不高的场合。广义多项式混沌法是新型概率潮流计算方法,其兼顾灵活性、准确性、快速性,是当前概率潮流计算的研究趋势,尤其是其中的自适应稀疏伪谱逼近法集gPC方法之大成,它基于一般化Smolyak稀疏网格、自适应算法以及张量积逼近网格—张量积积分网格配对技术等严格数学理,论巧地妙构造了计算精度高、计算量小的逼近函数,具有极高的计算性能,非常适合应用于概率潮流等电力系统随机问题中。

  参考文献

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  [4] 徐青山,黄煜,刘建坤,等.采用混合高斯模型及边缘变换技术的蒙特卡洛随机潮流方法[J].电力系统自动化,2016,16:4.

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  [20] Aas Kjersti,Czado Claudia,Frigessi Arnoldo,et al.Pair-copula constructions of multiple dependence[J].Insurance:Mathematics and economics,2009,44(2):182-198.

  作者简介

  申丹枫(1993-),男,硕士研究生,主要研究方向:电力系统潮流计算,电力系统状态估计,不确定性量化分析。

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